Bài 1:

Cho (O;R) và đường kính AB cố định, CD là đường kính di động (CD không trùng với AB, CD không vuông góc với AB)

a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

b) BC, BD cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại E, F. Chứng minh CDEF nội tiếp.

c) Chứng minh: 

d) Trung trực của CD và EF cắt nhau tại I. Chứng minh khi CD quay quanh O thì I di động trên một đường cố định.

Hướng dẫn:

a) Sử dụng 3 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

b) Chứng minh: 

c) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

cơ mà BE.BF = AB.EF nên:

Vậy ta cần chứng minh: BC.CD = CE.DF (dễ)

d) Hãy chứng minh BOIH là hình bình hành nên IH luôn bằng R khi CD quay quanh O

Vậy I nằm trên đường thẳng d cách EF 1 đoạn là R.

 Bài 2:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) vẽ đường kính AD, đường cao AH của tam giác ABC.

a) Chứng minh: AB.AC=AH.AD

b) AH cắt (O) tại E, K là điểm đối xứng của E qua BC. Chứng minh K là trực tâm tam giác ABC.

c) Gọi CK cắt AB tại M, BK cắt AC tại N. Chứng minh AD vuông góc MN.

d) Cho  Chứng minh B, N, O, M, C cùng thuộc một đường tròn tâm I. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây MN và cung MN của (I).

Hướng dẫn:

a) Chứng minh  là xong.

b) Cần chứng minh 

c) Đã chứng minh 3 lần

d) Chứng minh cho 

Đáp số