BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

Gốc > TRAO ĐỔI TOÁN HỌC THCS > BẤT ĐẲNG THỨC >

Tạo bài viết mới BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

Bài tập bất đẳng thức cơ bản ( thầy Nguyễn Tất Thu)

Bài 1: Cho hai số thực. $a,b$
Chứng minh rằng : $a^2 + b^2 \ge 2ab$

Bài 2: Cho ba số thực $a,b,c$ . Chứng minh rằng : $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$

Bài 3: Cho 5 số thực $a,b,c,d,e$ .

Cmr : $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge a(b + c + d + e)$

Bài 4: Cho các số thực dương $x,y,z > 0$ có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: $\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4y + 1} + \sqrt {4z + 1} \le \sqrt {21}$

Bài 5: Cho $a,b \ge 0$ . Chứng minh rằng : $a^3 + b^3 \ge a^2 b + b^2 a$
Bài 6: Cho $ab \ge 1$ . Chứng minh rằng : $\frac{1}{{a^2 + 1}} + \frac{1}{{b^2 + 1}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}$

Bài 7: Cho hai số thực không âm a,b. Chứng minh: $(a + b)(1 + ab) \ge 4ab$

Bài 8: Cho $a,b > 0$ . Chứng minh: $(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$

Bài 9: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - b}} + \frac{1}{{p - c}} \ge2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ .

Bài 10: Cho $a,b > 0$ và $a + b = 1$ . Chứng minh: $\frac{{a^2 }}{{a + 1}} + \frac{{b^2 }}{{b + 1}} \ge \frac{1}{3}$

Bài 11: Cho $a,b,c > 0$ . Chứng minh : $(a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 9$

Bài 12: Cho ba số thực dương $a,b,c$ . Cmr : $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge\frac{3}{2}$

Bài 13: Cho a,b,c > 0 và $a + b + c = 1$ . Cmr : $\frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}} + \frac{c}{{1 + c}} \le\frac{3}{4}$

Nhắn tin cho tác giả

Đoàn Quốc Việt @ 12:50 18/06/2009
Số lượt xem: 4192

Số lượt thích: 0 người

Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ‎ ý không dùng bất đẳng thức Cosi vì bài không cho a, b không âm.

Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình phương luôn không âm.

$= \frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2 ) + \frac{1}{2}(b^2 - 2bc + c^2 ) +\frac{1}{2}(c^2 - 2ca + a^2 )$

Bài 3: Cách làm tương tự bài 3.

$= (\frac{{a^2 }}{4} - ab + b^2 ) + (\frac{{a^2 }}{4} - ac + c^2 )+ (\frac{{a^2 }}{4} - ad + d^2 ) + (\frac{{a^2 }}{4} - ae + e^2 )$

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

$(\sqrt {1(4x + 1)} + \sqrt {1(4y + 1)} + \sqrt {1(4z + 1)} )^2 \\\, \le (1^2 + 1^2 + 1^2 )(4x + 1 + 4y + 1 + 4z + 1)^2$

Bài 5 : Biến đổi tương đương tạo thành tích của 2 số không âm.

Bài 6 : Biến đổi tương đương

$\frac{1}{{a^2 + 1}} + \frac{1}{{b^2 + 1}} - \frac{2}{{1 + ab}} =(\frac{1}{{a^2 + 1}} - \frac{1}{{1 + ab}}) + (\frac{1}{{b^2 + 1}} -\frac{2}{{1 + ab}})$

Biến đổi tạo thành biểu thức không âm

Bài 7 : Áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 phát là xong :

$a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\,;\,\,1 + ab \ge 2\sqrt {ab}$

Bài 8: Tương tự bài 7

Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}$ (đã chứng minh bài 8)

Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử:

$= \frac{1}{2}\left( {(\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - b}}) +(\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - c}}) + (\frac{1}{{p - b}} +\frac{1}{{p - c}})} \right)$

(p là nửa chu vi $p = \frac{{a + b + c}}{2}$ )

Bài 10:Biến đổi

${\rm{VT}} = \frac{{a^2 - 1}}{{a + 1}} + \frac{1}{{a + 1}} +\frac{{b^2 - 1}}{{b + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} = - 1 + \frac{1}{{a +1}} + \frac{1}{{b + 1}}$
lại áp dụng bài 8 là xong.

Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 lần cho 3 số.

Bài 12: Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành

$(\frac{a}{{b + c}} + 1) + (\frac{b}{{c + a}} + 1) + (\frac{c}{{a+ b}} + 1) \ge \frac{9}{2}\\ \Leftrightarrow (a + b + c)(\frac{1}{{a +b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}) \ge \frac{9}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức của bài 11 là xong !

Bài 13 : BĐT $\Leftrightarrow \frac{{a + 1 - 1}}{{a + 1}} + \frac{{b + 1 - 1}}{{b+ 1}} + \frac{{c + 1 - 1}}{{c + 1}} \le \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 3 - (\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} +\frac{1}{{c + 1}}) \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{{a + 1}} +\frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}} \ge \frac{9}{4}$
$\Leftrightarrow (a + 1 + b + 1 + c + 1)(\frac{1}{{a + 1}} +\frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}) \ge 9$

áp dụng bài 11 xong !

Đoàn Quốc Việt @ 12h:51p 18/06/09

Phải huấn luyện cho học sinh lên đây giải Toán anh Việt ạ. Mấy cái này lên THPT vẫn còn xương xẩu lắm ạ !

Phạm Kim Chung @ 12h:39p 22/06/09

Anh cho em xin mấy bài BĐT về trang em để 1số HS luyện giải BĐT được k ạ ?

Phạm Kim Chung @ 12h:40p 22/06/09

Thầy Chung cứ tự nhiên, mấy thứ này chỉ có đội tuyển Toán làm thôi chứ đa số các em ít làm lắm. hihi. Mấy thầy dạy THPT thông cảm vì THCS chỉ dạy cái cơ bản thôi!

Đoàn Quốc Việt @ 19h:47p 22/06/09

MỘT SỐ PP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO THCS (18/06/09)

I.O.M

TOÁN HỌC THCS

LIÊN KẾT

Các ý kiến mới nhất

Thống kê

Thành viên trực tuyến

Tạo bài viết mới BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

Đăng nhập

I.O.M

TOÁN HỌC THCS

LIÊN KẾT

Các ý kiến mới nhất

Thống kê

Thành viên trực tuyến

Tạo bài viết mới BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN