HÌNH HỌC.

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi H là trung điểm đoạn OB, trên đường thẳng (d) vuông góc với OB tại H, lấy một điểm P ở ngoài đường tròn, PA, PB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi Q là giao điểm của AD và BC.

a) Chứng minh Q là trực tâm của tam giác PAB, từ đó suy ra ba điểm P, Q, H thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác BHQD nội tiếp được trong một đường tròn.

c) Chứng minh DA là tia phân giác của góc CDH.

d) Tính độ dài HP theo R khi cho biết S_ABC = 2S_AQB

Hướng dẫn:

a) Vì Q là giao điểm của 2 đường cao AD và BC.

=> P, Q, H thẳng hàng .

b) BHQD nội tiếp vì góc D+ góc H = 180 độ.

c) Do góc CDA = góc CBA = góc HDA.

d) Khi  nên CO = 2HQ.

suy ra , nên 

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm M sao cho AM > R. Từ điểm M, kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O) tại N.

a) Chứng minh tứ giác MAON nội tiếp được trong một đường tròn.

b)  Chứng minh BN // OM.

c)  Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BN tại P. Chứng minh tứ giác OBPM là hình bình hành.

d)  Biết AP cắt OM tại K; MN cắt OP tại J; MP và ON kéo dài cắt nhau tại I. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Hướng dẫn (Nguyễn Thái Bình)

a, 0

b,Cm 2 góc đồng vị trên cạnh MN

c,Cm  (cùng vuông góc với OP )

d, Để Cm I,J,K thẳng hàng ta CM IJ và JK cùng vuông góc với OM

I là trực tâm   vuông góc với OM (1)

Cm tứ giác MPJK nội tiếp (vì   )

Từ đó 0

Suy ra 0 

Hay JK vuông góc với OM (2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A, B (d không qua tâm O). Từ một điểm M thuộc đường thẳng d và ở ngoài đường tròn đã cho kẻ các tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (N, P là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác ONMP nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

b) Gọi K là trung điểm của dây AB. Chứng minh DNIK cân.

c) Cho . Tính độ dài OM theo R.

Hướng dẫn (Nguyễn Thái Bình)

a,tương tự Bài 2 . I là trung điểm OM

b,Cm IK=IN (cùng = )

c, Cm = MA .MB = 

Suy ra OM theo định lý Pytago

Bài 4: Cho tam giác vuông cân ABC vuông tại C có độ dài CA = CB = a, E là một điểm tùy ý trên cạnh BC( không trùng B, C). Qua B kẻ một tia vuông góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K.

a) Chứng minh tứ giác BHCA nội tiếp. 

b) Xác định tâm đường tròn và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHCA theo a.

c) Chứng minh 

d) Khi E di chuyển trên BC, chứng minh BE.BC + AE.AH không đổi.

Hướng dẫn (Nguyễn Thái Bình)

c, Ta có 

mà  (tứ giác BHCA nội tiếp )

suy ra 

Lại có  phụ với  và phụ với

suy ra 

suy ra đpcm (vì )

d) Kẻ KE vuông góc với AB tại M

ta có: BE.BC = BM.BA

         AE.AH = AM.BA

Suy ra

Bài 5: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.

a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên 

b) Tính 

c) Chứng minh KC.KD = KH.KB

d) Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào?

Chứng minh:

a)  Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được.

c)  AC // EF.

d)  Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.

Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đườn kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp.

b)  AM cắt OE tại P, BM cắt Ò tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Vì sao?

Bài 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và B. Trên đường kính AB lấy điểm C và kẻ CH ^ AD tại H. Đường phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E cắt CH tại F. đường thẳng DF cắt đường tròn tại N.

Chứng minh rằng:

a) 

b) Tứ giác ANCF nội tiếp.

c) Ba điểm C, N, E thẳng hàng.