VŨ CÔNG MINH Ngày gửi: /8/2014
GV. THCS Hồng Bàng, Hải Phòng
Tel: 01656.225.532
Email: minhthcshongbang@gmail.com
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRÒN EULER VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Chúng ta biết rằng đường tròn Euler của tam giác là đường tròn đi qua chín điểm : các trung điểm các cạnh của tam giác; các chân đường cao hạ từ ba đỉnh của tam giác xuống cạnh đối diện; các trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm của tam giác tới các đỉnh. Bài viết này xin trình bày một số bài toán liên quan tới đường tròn đặc biệt này.
Trước hết ta có các tính chất về đường tròn Euler:
Tính chất 1: Cho tam giác ABC, các đường cao AA1; BB1; CC1 cắt nhau tại H. Gọi A`; B`; C`; M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; AC; AB; HA; HB; HC. Khi đó chín điểm: A`; B`; C`; A1; B1; C1; M; N; P cùng nằm trên một đường tròn ( gọi là "đường tròn chín điểm Euler" hay gọi tắt là "đường tròn Euler" của tam giác ABC).





Chứng minh: (Hình 1) Ta có MN // AB; NA` // CH. Từ đó
hay
. Chứng minh tương tự
;
;
.
Mặt khác theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ta có MA = MB1; A`B1 = A`C nên các tam giác MAB1 và A`B1C là các tam giác cân. Do đó:
. Suy ra:
. Chứng minh tương tự
. Như vậy 7 điểm B`; C`; A1; B1; C1; N; P cùng nhìn MA` dưới một góc vuông. Vậy chín điểm A`; B`; C`; A1; B1; C1; M; N; P cùng nằm trên một đường tròn đường kính MA`. ■

Nhận xét: Vì vai trò của các đoạn thẳng MA`; NB`; PC` là giống nhau nên NB`; PC` cũng là đường kính đường tròn Euler của tam giác ABC. Như vậy, là các đường thẳng A`M; B`N; C`P đồng quy tại tâm đường tròn Euler của tam giác ABC.
Tính chất 2: Tâm đường tròn Euler của tam giác là trung điểm của đoạn thẳng nối trọng tâm và trực tâm của tam giác đó.
Chứng minh: (Hình 1) Gọi J và O lần lượt là tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dễ dàng chứng minh hai tam giác HAB và OA`B` đồng dạng (g.g). Từ đó:
hay OA` = MH. Tứ giác MOA`H là hình bình hành, mà J là trung điểm của MA` nên J là trung điểm của OH. ■
Nhận xét:
1) Theo tính chất 2, tâm đường tròn Euler của tam giác nằm trên đường thẳng Euler của tam giác đó.
(Đường thẳng Euler là đường thẳng đi qua ba điểm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác).
2) Bán kính đường tròn Euler của tam giác bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Ta sẽ áp dụng các tính chất đường tròn Euler vào một số bài toán sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng BM. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt đoạn thẳng AC tại E. Gọi F là giao điểm của tia BE và đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM sao cho E nằm giữa B và F. Chứng minh rằng:
.


Lời giải: (Hình 2) Gọi N là giao điểm của DE và AB. Thấy rằng E là trực tâm tam giác BCN nên BE
NC. Ta có đường tròn đi qua ba điểm A, D, M chính là đường tròn Euler của tam giác BNC, mà BE cắt đường tròn trên tại F. Vậy F là chân đường cao hạ từ B xuống NC.
Các tứ giác BDEA; BDFN; AEFN nội tiếp nên:

.■
Nhận xét: Chứng minh tương tự ta có DE là tia phân giác của góc ADF. Như vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF. DB và DC lần lượt là tia phân giác ngoài góc D của tam giác ADF. Từ đó B và C lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc F và góc A của tam giác ADF. Ta có

tính chất: " Đường tròn ngoại tiếp của tam giác đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn bàng tiếp tam giác đó."
Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I lên BC, CA, AB. Chứng minh tâm đường tròn Euler của tam giác MNP nằm trên đường thẳng OI.