Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học cơ sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó.
Bài toán xuất phát:
Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a3 +b3
ab(a+b). (*)
Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với :
( (a+b)(a2 –ab+b2) – ab(a+b)
0
( (a+b)(a2 -2ab +b2)
0
( (a+b)(a-b)2
0 đúng với mọi a,b dương.
Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác:
Với a,b dương ta vẫn có thể biến đổi (*) thành :

ab
( a2 – ab + b2
ab
( ( a - b)2
0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không có gì mới lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập này. GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng:
Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm. Nếu a,b là các số dương thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng thức khác?
Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức:
(
+ b2
a(a+b) ( do b>0)
(
+ b2
a2 + ab
Tương tự với a,b,c dương thì :

+ c2
b2 + bc

+ a2
c2 + ac
Từ đó ta có bài toán hay:
Bài 2: Với 3 số a,b,c dương chứng minh rằng :

+
+

ab +bc+ca
Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật của bất đẳng thức CôSi thì rất khó.
Học sinh có thể thử bằng cách như sau:
+ b2
2a
dấu “=” xảy ra khi a = b
Tương tự
+ c2
2b


+ a2
2c

Với cách thử này giáo viên sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khác:

+
+

2a
+2b
+2c
- (a2+b2+c2)
Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi:
Hai bất đẳng thức
+
+

ab +bc+ca
và
+
+

2a
+2b
+2c
- (a2+b2+c2)
thì bất đẳng thức nào chặt hơn?
Cách làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ nhận thấy ab +bc+ca
2a
+2b
+2c
- (a2+b2+c2)
GV yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh.
Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số dương, ta có hướng biến đổi khác:
Từ a3 +b3
ab(a+b) (*) suy ra:

a+b
tương tự

c+b


a+c Với a,b,c là các số dương.
Từ đó ta có bài toán:
Bài 3: Với a,b,c dương chứng minh rằng:

+
+

2(a+b+c)
Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều cách nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cô si


= 2

Tương tự ta có:
+
+

2
+ 2
+ 2

Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức:

+
+

2(a+b+c)

+
+

2
+ 2
+ 2

thì bất đẳng thức nào chặt hơn?
Yêu cầu này đơn giản hơn vì hầu hết học sinh đều quen thuộc với bất đẳng thức: 2(a+b+c)
2
+ 2
+ 2
(a,b là số dương)
Như vậy bài tập
+
+

2
+ 2
+ 2
hay hơn bất đẳng thức trong bài tập 3.
Ta có bài tập sau:
Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

+
+

2
+ 2
+ 2


GV nhắc nhở học sinh luôn có ý thức tự đặt câu hỏi. Ví dụ: “hai vế bất đẳng thức a3 +b3
ab(a+b)(*) có gì quen thuộc?”. “Biến đổi như thế nào để có lập phương của một tổng?”.
Khi đó HS biến đổi (*) ( 3(a3 +b3)