TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015-2016


ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: ..../12/2015

Bài 1. (2,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn điều kiện:

.
b) Tìm tất cả các bộ số nguyên (x, y, z) thoả mãn:
.
Bài 2. (3,0 điểm)
a) Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
b) Giải phương trình:
.
Bài 3. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC với
và D là chân đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh AB. Gọi X là một điểm nằm ở giữa C và D, K là điểm thuộc đoạn thẳng AX sao cho BK = BC. Tương tự L là điểm thuộc đoạn thẳng BX sao cho AL = AC; M là giao điểm của AL và BK. Chứng minh MK = ML.
Bài 4. (1,5 điểm) Các cạnh của tam giác có số đo là
. Chứng minh rằng có thể đặt tam giác này trong một hình chữ nhật có số đo độ dài các cạnh là các số nguyên sao cho hai đỉnh của tam giác trùng với hai điểm đầu và điểm cuối của một đường chéo và khoảng cách từ đỉnh thứ ba của tam giác tới các cạnh của hình chữ nhật là một số nguyên. Khi đó chứng tỏ rằng số đo diện tích của tam giác là số nguyên.
Bài 5. (1,0 điểm) Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu
. Dãy các số x0 , x1, x2, ........xn ..... được xác định bởi công thức xn =
. Hỏi trong 200 số { x0, x1, ...x199..}.
Có bao nhiêu số khác 0 ? (Cho biết 1,41 <
< 1, 42).
.........Hết .......

ĐÁP ÁN: ĐỀ KIỂM TRA LỚP 9 – SỐ 1 (NĂM 2015 – 2016)
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn điều kiện:


Giải: PT
.
Đặt t =
thì

* Nếu t > 0 thì
. Do đó
không là số chính phương...: 0,5đ
* Nếu t
0 thì
. Vì y là số nguyên, nên y = 0; – 1; – 2; – 3
Vậy các cặp số nguyên cần tìm (x ; y) là:
(2006; – 3), (2006; – 2), (2006; – 1), (2006; 0). ...............: 0,5đ
b) Tìm tất cả các bộ số nguyên (x, y, z) thoả mãn
.
Giải: Có 2x2 + 1 > 0, nên từ PT (1) suy ra y3 > x3
y > x.
Mặt khác x, y là số nguyên. Suy ra y
x + 1

.......: 0,5đ
Do đó x = – 3; – 2; – 1; 0
Từ (2) ta có xy > 0, do đó x, y cùng dấu. Ta được cặp (x ; y) là (– 3 ; – 2)
Thay vào (2) suy ra ta có các bộ (x, y, z) là (– 3 ; – 2 ; – 2), (– 3 ; – 2 ; 2). .......: 0,5đ
Bài 2. (3,0 điểm)
a) Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
Giải: Chứng minh BĐT:
(1)



(2) luôn đúng với mọi x, y. .......: 0,5đ
Vậy BĐT (1) đúng. Dấu "=" xảy ra khi x = y.
Với x, y > 0 ta có

Suy ra

Lập luận tương tự có
,
...: 0,5đ
Cộng các BĐT cùng chiều ta có

.
Vậy MinA =
khi và chỉ khi
. .......: 0,5đ
b) Giải phương trình

.
Giải: Điều kiện
. Phương trình tương đương



.......: 0,5đ


Với
thì
.
Suy ra x – 5 = 0
. Vậy PT có nghiệm x = 5. .......: 1,0đ
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC với
, và D là chân đường cao hạ từ C. Cho X là một điểm nằm ở miền trong đoạn thẳng CD, K là điểm trên đoạn thẳng AX sao cho BK = BC. Tương tự